不確実性を減少させる意思決定

今回は環境を取り巻くランダムネスの影響を小さくする意思決定の方法について考えていきます。

ノイズの標準偏差が説明変数を全て含む多変数の一次関数になる場合の不等分散重回帰モデルにおいて、不確実性を減少させるための説明変数の状態について、予算配分問題を例に考えていきます。

予算配分問題

多角的に事業を展開している企業において、事業の成長見込みを基に来年度予算割り当て額を決める問題を考えます。

$y$={事業1の利益, 事業2の利益, ...}、$x$={事業1の割り当て予算, 事業2の割り当て予算,...}、$ \alpha$={事業1の投下資本利益率(ROIC)の予測値,事業2のROICの予測値,...}

とした時、実際のROICは予測値にノイズが加わるため

$$ y_i=x_i( \alpha_i + \varepsilon_i)=\alpha_i x_i + x_i \varepsilon_i, \quad \varepsilon_i \sim N(0, \sigma_i^2), \quad \alpha_i \geq 0 $$

という関係式を考えることが出来ます。

この時の$x_i$を与えた上での$y_i$の条件付き分布は、$y_i|x_i \sim N(\alpha_i x_i, (x_i \sigma_i)^2)$になります。

事業数を$D$として、会社全体の利益は$t=\sum_i^D y_i$となります。 

この節では簡単のため、$D=4$とし、各事業の利益は他事業に依存せず独立に決まるとします(独立性の仮定)。 

$x$を与えた上での$t$の条件付き分散は確率変数の和の公式によって、$V[t|x]=\sum_{i=1}^4 (x_i \sigma_i)^2$となります。

$V[t|x]$が小さくなることはランダムネスの影響を小さくし、予定通りの結果を出しやすくなる確率が上昇し、計画性の向上や信頼性の保持に繋がりますので、これを最小化する$x$を求めます。

$\sum_{i=1}^4 x_i=a$の条件のもとで$V[t|x]$を最小化する$x$はラグランジュ未定乗数法によって

$$ x_i=\frac{\Pi_{j\neq i}^4 \sigma_j^2}{\sum_{j=1}^2\sum_{k=j+1}^3\sum_{l=k+1}^4 (\sigma_j\sigma_k\sigma_l)^2}a $$ となります。 上式は分子の$\sigma_i^2$以外の分散の積が、分母の${}_4 C_{4-1}=4$の組み合わせ全体の中での比率を求める計算に$a$を掛けたものになっているため、$\sigma_1=...=\sigma_4$の時、ランダムネスの影響が最小化される最適点は$x_1=...=x_4=a/4$となります。

従ってこのような単純化された状況ではバランスが取れた予算配分には計画性を向上させるメリットがあることが分かりました。

一方、予算配分をバランスよくさせることは、最もROICが高い事業に全予算を割り当てる場合と比べて利益の期待値である$E[t|x]$が下がるデメリットがあるため、$E[t|x]$と$V[t|x]$の兼ね合いを考える必要があります。

また、事業間シナジーを考慮し、独立性の仮定も外す必要があります。次節でこれらを考慮した最適化問題を考えていきます。

評価指標の導出

事業$i$の予算額$x_i$に応じてもたらされる、観測されない利益$y_i$の$x_i$を与えた上での条件付き分布に正規性の仮定をおきます。 $$y_i|x_i \sim N\left(\alpha_i x_i, (x_i\sigma_i)^2\right), \quad \alpha_i \geq 0 $$ 会社全体の利益は $$ t = \sum_{i=1}^D y_i$$ とします。先ほどとは違い独立性の仮定を置きません。

$t$の条件付き分布は、正規分布の再生性によって、次式になることが分かります。

$$t|x \sim N\left( \sum_{i=1}^D \alpha_i x_i, \sum_{i=1}^D V(y_i|x_i) + 2\sum_{i=1}^D\sum_{j=i+1}^D \Lambda_{ij} \right)\quad (1)$$

ここで$\Lambda$は分散共分散行列で $$ \Lambda_{ij}= \rho_{ij. x}S(y_i|x_i)S(y_j|x_j), \quad 1 \geq \rho_{ij. x} \geq -1 $$と定義されます。$ \rho_{ij . x}$は$x_i$と$x_j$の影響を取り除いた$y_i$と$y_j$の偏相関で、$\varepsilon_i$と$\varepsilon_j$の相関係数とみなすことが出来ます。予算額の類似性による影響を除いても利益に相関関係がみられる場合にそれを代入するものになります。$S(y_i|x_i)$は条件付き標準偏差で、$S(y_i|x_i)=x_i\sigma_i$です。

目的はこの正規分布の期待値の高さと、計画通りの結果を出しやすくする度合いを表す標準偏差の小ささ、この二つの情報が含まれていて最適化の目的関数になり得る指標を導出する事ですが、$t$が期待値$\mu:=\sum_{i=1}^D \alpha_i x_i$以下の値を取ったときの条件付き期待値、すなわち、失敗したときの期待値がそれに該当します。

これから行う条件付き期待値の導出は、「正規分布全体の期待値の導出」と共通する部分が多いため、そちらを見て分かるところは省略します。

\begin{align} E[t| t \leq \mu] &= \frac{E[t, t \leq \mu]}{P(t \leq \mu)} \\ &= 2 \int_{-\infty}^\mu t N(t| \mu, \sigma^2) dt \\ &= \frac{2}{ \sqrt{2 \pi \sigma^2 } } \int_{-\infty}^\mu (t-\mu) e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}} dt + 2\mu \int_{-\infty}^\mu \frac{1}{ \sqrt{2 \pi \sigma^2 } } e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}} dt \\ &= \frac{2}{ \sqrt{2 \pi \sigma^2 } } \int_{-\infty}^\mu (t-\mu) e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}} dt + \mu \end{align} 第１項目について、$z=\frac{t-\mu}{\sigma}$とおくと、$t=\sigma z+\mu$となり、単調関数で表すことが出来るため、定積分の置換積分法を適用すると、 \begin{align} \frac{2}{ \sqrt{2 \pi \sigma^2 } } \int_{-\infty}^\mu (t-\mu) e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}} dt &= \frac{2}{ \sqrt{2 \pi \sigma^2 } } \int_{-\infty}^\frac{\mu-\mu}{\sigma} \sigma z e^{-\frac{z^2}{2}} \sigma dz \\ &= \frac{2 \sigma}{ \sqrt{2 \pi } } \int_{-\infty}^0 z e^{-\frac{z^2}{2}} dz \\ &= -\frac{2 \sigma}{ \sqrt{2 \pi } } \end{align} 最後の等式はガウス積分の公式を使うことで分かります。最後に第１項と第２項を合わせた上で、式(1)の結果を代入すると指標の完成です。 $$  f(x) = \sum_{i=1}^D \alpha_i x_i -\frac{2}{\sqrt{2 \pi }} \sqrt{\sum_{i=1}^D (\sigma_i x_i)^2 + 2\sum_{i=1}^D\sum_{j=i+1}^D \Lambda_{ij}}\quad (2) $$

$\sum_i^D x_i \leq a $の条件の下で$f(x)$が増加するよう予算配分を調整することを考えることが出来ます。しかし、期待値以下の実績を失敗と定義するのはかなり保守的ですので、必要に応じて第２項の重み係数$2/\sqrt{2\pi}$を下げることになると思います。